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등차수열은 매달 저축액을 일정하게 늘리는 상황, 분할 상환 일정을 세우는 과정, 혹은 숫자 패턴이 단계별로 커져가는 모습 등 생각보다 다양한 곳에서 나타납니다. 이 수열은 각 항 사이 간격이 일정한 ‘공차’라는 개념을 기반으로 합니다.
등차수열이란?
등차수열은 각 항이 항마다 동일한 수를 더하거나 빼서 만들어지는 숫자 나열입니다. 이때 그 일정한 차이를 공차라고 부릅니다.
예를 들어: 5, 10, 15, 20, 25…
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첫 번째 항(
a₁)은5입니다. -
공차(
d)는5입니다. 모든 항이5씩 증가하니까요.
이런 패턴은 단순한 교과서 문제가 아닙니다. 매주 같은 금액을 저축했을 때 1년 후 얼마를 모을 수 있는지, 노력량을 조금씩 늘려 목표까지 몇 단계를 거쳐야 하는지 등을 계산할 때 유용합니다.
항들이 일정한 속도로 변화하기 때문에 예측과 계산이 쉽습니다. 그래서 수업에서도 자주 다루고 실생활 문제 해결에도 폭넓게 쓰입니다.
등차수열의 공식
등차수열은 단순해 보이지만, 공식을 이용하면 원하는 항을 빠르게 찾거나 여러 항을 한 번에 더할 수 있습니다.
항 위치에 해당하는 값 구하기
n번째 항을 구하는 공식은:
aₙ = a₁ + (n − 1)d
각 기호의 의미:
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aₙ– 찾고자 하는 항(예: 10번째 항). -
a₁– 첫 번째 항. -
d– 공차(각 항이 얼마나 변하는지). -
n– 항의 위치.
여러 항 더하기
첫 n개 항의 합을 구하려면 다음 공식을 사용하세요:
Sₙ = (n ÷ 2) × [2a₁ + (n − 1)d]
이 공식을 쓰면 모든 항을 일일이 나열하지 않고도 합을 계산할 수 있습니다.
간단한 예시
수열이 3, 6, 9, 12, …일 때 다음을 구해보겠습니다:
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10번째 항
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첫 10개 항의 합
먼저 알려진 값을 정리해 봅시다.
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a₁ = 3(첫 번째 항) -
d = 3(항마다 3씩 증가) -
n = 10(10번째 항과 첫 10개 항의 합을 구할 예정)
1단계: 10번째 항 구하기
a₁₀ = 3 + (10 − 1)(3) = 3 + 27 = 30
따라서 10번째 항은 30입니다.
2단계: 첫 10개 항의 합 구하기
S₁₀ = (10 ÷ 2) × [2(3) + (10 − 1)(3)]
S₁₀ = 5 × [6 + 27] = 5 × 33 = 165
따라서 첫 10개 항의 합은 165입니다.
등차수열과 다른 수열 비교
모든 수열이 같은 방식으로 커지지는 않습니다. 등차수열은 일정한 양을 더하거나 빼며 진행하지만, 다른 수열은 전혀 다른 규칙을 따릅니다.
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기하수열
기하수열은 일정한 수를 더하는 대신 같은 비율로 곱해 나갑니다. 예를 들어 2, 4, 8, 16, 32…처럼 매번 2배씩 늘어나는 수열로, 인구 성장이나 이자율 적용처럼 기하급수적 변화를 설명할 때 활용됩니다.
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피보나치 수열
피보나치 수열은 앞의 두 항을 더해 다음 항을 만듭니다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…처럼 컴퓨터 알고리즘에서나 조개껍데기 나선형 패턴 등에서 찾아볼 수 있습니다.
어떤 수열이 필요한지 헷갈린다면, 다른 도구들도 살펴보세요:
