기하수열 계산기

기하수열은 저축 계좌의 성장부터 박테리아 증식, 하노이 탑과 같은 퍼즐까지 곳곳에서 나타납니다. 기하수열의 원리를 이해하면 수학, 금융, 과학 문제를 더 쉽게 해결할 수 있습니다. 기하수열이 무엇이고 어떻게 구성되며 왜 널리 쓰이는지 알아보겠습니다.

기하수열이란?

기하수열은 각 항이 바로 앞 항에 일정한 수를 곱해 얻어지는 수열로, 이 일정한 수를 공비라고 합니다. 공비가 1보다 크면 증가, 0과 1 사이면 감소, 음수면 부호가 번갈아 바뀝니다.

예를 들어:

• 2, 6, 18, 54, …는 공비가 3입니다 (각 항이 이전 항의 3배).

• 100, 50, 25, 12.5, …는 공비가 0.5입니다 (각 항이 이전 항의 절반).

기하수열은 매번 같은 값을 더하거나 빼는 산술수열과 달리 곱셈을 바탕으로 하므로, 이자율, 투자 수익, 자연 현상의 지수적 변화 등 비율 변화 모델링에 적합합니다. 덧셈 패턴을 다룰 때는 산술수열 계산기를 참고하세요.

기하수열 공식

기하수열을 다룰 때 사용하는 핵심 공식은 다음 두 가지입니다.

1. 일반항 공식

모든 항을 나열하지 않고도 n번째 항을 구할 수 있습니다.

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

여기서:

• aₙ은 찾고자 하는 n번째 항
• a₁은 첫째 항
• r은 공비
• n은 항의 위치

2. 유한 기하급수의 합

처음 n개 항을 모두 더할 때 사용합니다.

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (단, r ≠ 1)

이 공식은 총 이자 수익 계산부터 여러 세대에 걸친 인구 예측까지 다양하게 활용됩니다.

퀵 팩트: 알버트 아인슈타인은 복리가 기하수열을 따르는 이자 구조라며 ‘세계의 8대 불가사의’라고 불렀다고 전해집니다. 반복 곱하기 시 가치가 급격히 늘어나는 특징을 강조한 표현입니다.

이 두 공식은 단순한 수학 연습 문제부터 복잡한 금융 모델링에 이르기까지 기하수열 문제를 해결하는 핵심입니다. 더 다양한 수학 계산을 원한다면 수학 계산기를 이용해 방정식, 비율 등 여러 기능을 활용해보세요.

기하수열 문제 해결 방법

기하수열 문제는 주로 공비 구하기, 특정 항 계산, 급수 합산의 세 단계로 나뉩니다.

1. 공비(r) 구하기

연속된 두 항을 이용해 공비를 구합니다.

r = aₙ ÷ a₍ₙ₋₁₎

나란히 있는 두 항 중 뒤의 항을 앞의 항으로 나누면 됩니다.

예제: 수열 3, 6, 12, 24, …의 공비는

r = 6 ÷ 3 = 2

2. 특정 항 계산

공비 r와 첫째 항 a₁을 알면 일반항 공식을 사용합니다.

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

예제: 수열 5, 15, 45, …(r = 3)의 10번째 항은

a₁₀ = 5 × 3⁹ = 5 × 19,683 = 98,415

3. 유한 급수 및 무한 급수의 합

여러 항의 합을 구할 때는 유한 급수 공식을 사용합니다.

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r), r ≠ 1

만약 무한 급수를 다루고 |r| < 1이라면, 급수가 수렴하여 합은 다음과 같습니다.

S∞ = a₁ ÷ (1 − r)

무한 급수 예제: 수열 10, 5, 2.5, …(r = 0.5)의 합은

S∞ = 10 ÷ (1 − 0.5) = 20

알고 계셨나요?
공이 튈 때마다 높이가 절반으로 줄어드는 현상은 무한 기하급수의 실제 예입니다. 이론상 공은 영원히 튀지만, 기하급수가 수렴해 총 이동 거리는 유한합니다.

기하수열과 다른 수열 비교

기하수열은 곱셈을 기반으로 하지만 모든 수열이 이런 방식으로 작동하지는 않습니다. 대표적인 다른 수열인 산술수열과 피보나치 수열을 살펴보면 각각의 차이점을 이해하고 문제 해결에 적합한 방법을 선택할 수 있습니다.

기하수열 vs. 산술수열

• 기하수열은 일정한 공비를 곱합니다.
  예: 3, 6, 12, 24, … (r = 2)

• 산술수열은 일정한 차이를 더하거나 뺍니다.
  예: 3, 6, 9, 12, … (차이 d = 3)

덧셈 패턴을 다룰 때는 산술수열 계산기를 이용해보세요.

기하수열 vs. 피보나치 수열

• 피보나치 수열은 일정한 공비나 차이가 아니라, 바로 앞 두 항을 더해 다음 항을 만듭니다: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

• 피보나치 수열은 조개 껍데기 나선, 해바라기 씨 배열 등 자연에서 자주 관찰되지만, 기하수열처럼 고정된 비율로 성장하지 않습니다.

피보나치 패턴을 탐구하려면 피보나치 수열 계산기를, 다양한 수열 유형을 살펴보려면 수열 계산기를 활용하세요.